只有金属才有自由电子吗

不是。

金属有自由电子，石墨也有可自由移动的电子。

金属其实就是由金属阳离子和自由电子通过金属键形成的金属晶体。自由电子在外加电场的作用下可以定向移动而形成电流。

石墨是由碳原子构成的层状结构，每一层是共价键，层与层之间是范德华力，碳最外层四个电子，有三个形成共价键，其余一个以自由电子存在，所以石墨是电的良导体。