有限开覆盖原理

所谓有限开覆盖定理，是指：对于有界闭区间[a，b]的一个（无限）开覆盖H中，总能选出有限个开区间来覆盖[a，b]。

这一问题可用区间套定理来证明。（区间套定理：若[an，bn]是一个区间套，则在实数系中存在唯一一点C，使对任何n都有c属于[an，bn].{an}单调递增，{bn}单调递减，都以c为极限。）

证明：用反证法 假定不能用H中有限个开区间来覆盖[a，b].

将[a，b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖。记这个子区间为[a1，b1]，则[a1，b1]包含于[a，b]，且b1-a1=(b-a)/2.

再将[a1，b1]等分为两个子区间，同样，其中至少有一个不能用H中有限个开区间覆盖。记这个子区间为[a2，b2]，则[a2，b2]包含于[a1，b1]，且b2-a2=(b-a)/2^2.

重复以上步骤并不断进行下去，则可得到区间列{[an，bn]}，它满足区间套条件，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。