正方体切割问题规律

1）根据对称性，包含点D的部分与包含点F的部分是相同的形状，故我们计算一个即可。

记正方体的中心为点O，连接AH、AC、CH、AO、CO、HO。

易知，平面ACGE与ABGH的交线是直线AO，平面ACGE与BCHE的交线是直线CO，平面BCHE与ABGH的交线是直线BO。故包含点D的部分是由ADC、DHC、AHD、AOC、OHC、AHO六个面组成的（不排除共面的情况）。

要计算包含点D的部分的体积，需要判断它的形状，即需要判断点O与平面ACH的关系。

在三棱锥ACHD中，过点D作线段DP⊥平面ACH。有：

故点O与点D在平面ACH的两侧。

因此包含点D的部分的形状是两个倒扣的三棱锥（ACHD和ACHO）。

其体积为：

2）沿着平面ABGH切一刀之后，成了两个相同的三棱柱：

右边的三棱柱沿着平面ACGE再切一刀，变成一个三棱锥和一个四棱锥：

其中三棱锥沿着平面BCHE再切一刀，变成两个三棱锥：

四棱锥再切一刀，变成一个六面体（即1）问所求部分）和一个三棱锥：

至此，我们已经知道了：除了1）问中的两个部分以外，其余还有2×（2+1）=6个部分，并且都是三棱锥。

计算可知，它们的每条边都如下图所示，因此答案是肯定的。（注意，两个立体图形每条边都相同未必全等，因为有可能一个是凸的，一个是凹的，但是所有的三棱锥都是凸的，所以不存在这个情况。）