線性運算的八條規律

1、 從應用的角度考慮，線性空間與線性變換是處理類似問題的一個統一模式。比如，對函數的求導數是一個線性變換，平面上向量的旋轉是一個線性變換，等等。 2. 向量空間的本質是它的兩個運算及8條運算規則，任何其它的概念與性質都是由這些匯出的。線性變換是和這兩個運算相容的映射或變換：先運算後變換與先變換後運算的結果一致。 3. 在某種意義下，線性變換可以等同於矩陣。線性變換的研究可以轉化爲矩陣的研究。 4. 線性變換是線性映射的特例。線性映射是比較兩個線性空間的主要工具，最基本的問題是如何判斷兩個線性空間同構，即，它們之間是否存在保持運算的雙射。 5. 兩個代數結構之間的保持運算的映射，稱爲同態（更一般的概念是對象之間的態射，這是範疇與函子的語言）。線性空間是非常基本的代數結構，線性映射正是這種代數結構之間的同態。 6. 線性變換研究的基本問題是：化簡問題。線性變換由它在一組基上的取值所唯一確定。化簡是指：如何選取適當的基，使得線性變換在這組基下的矩陣具有簡單的形式，簡單的矩陣一般指對角矩陣（兩個對角矩陣乘積可交換）。這就引出特徵值與特徵向量的概念以及一些列的問題。 7. 要求特徵值，就要求多項式的根，這就是高等代數中討論多項式理論的目的之一要求特徵向量，就要求線性方程組的解，這是線性方程組的主要作用。這樣又引起一系列的問題，比如，矩陣、行列式等等。 8. 作爲最基礎的代數結構，向量空間是構造其它更復雜的代數結構的基石。就像蓋高樓大廈一樣，向量空間只相當於其框架結構。