概率論十大定律

、1、伯努利大數定律：

伯努利大數定律，即在多次重複試驗中，頻率有越趨穩定的趨勢。

在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發生的次數nA稱爲事件A發生的頻數.比值nA/n稱爲事件A發生的頻率，並記爲fn(A).

⒈當重複試驗的次數n逐漸增大時，頻率fn(A)呈現出穩定性，逐漸穩定於某個常數，這個常數就是事件A的概率.這種“頻率穩定性”也就是通常所說的統計規律性.

⒉頻率不等同於概率.由伯努利大數定理，當n趨向於無窮大的時候，頻率fn(A)在一定意義下接近於概率P(A).

通俗地說，這個定理就是，在試驗不變的條件下，重複試驗多次，樣本數量越多，隨機事件的頻率越近似於它的概率，偶然中包含着某種必然。

2、中心極限定理：

大量相互獨立的隨機變量，其求和後的平均值以正態分佈 （即鐘形曲線） 爲極限。

數學定義：設從均值爲μ、方差爲σ^2（有限）的任意一個總體中抽取樣本量爲n的樣本，當n充分大時，樣本均值的抽樣分佈近似服從均值爲μ、方差爲（σ^2）/n 的正態分佈。

關於正態分佈的核心結論是：μ、σ爲均值和標準差，那麼μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ的命中概率分別是68.3%、95.5%、99.73%！

中心極限定理最早由法國數學家棣莫弗在1718年左右發現。他爲解決朋友提出的一個賭博問題而去認真研究二項分佈 （每次試驗只有“是/非”兩種可能的結果，且兩種結果發生與否互相對立） 。他發現：當實驗次數增大時，二項分佈 （成功概率p=0.5） 趨近於一個看起來呈鐘形的曲線。後來，著名法國數學家拉普拉斯對此作了更詳細的研究，並證明了p不等於0.5時二項分佈的極限也是高斯分佈。之後，人們將此稱爲棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 。

是概率論中討論隨機變量序列部分和分佈漸近於正態分佈的一類定理。

比如，全國人口壽命、成年男女的身高分佈、人在一天中情緒高低點對應的時間分佈、金融市場中漲跌的時間週期及趨勢的壽命等等，無不遵循此定理。

對於大量獨立隨機變量來說，不論其中各個隨機變量的分佈函數是什麼形狀，也不論它們是已知還是未知，當獨立隨機變量的個數充分大時，它們的和的分佈函數都可以用正態分佈來近似。這使得正態分佈既成爲統計理論的重要基礎，又是實際應用的強大工具。

這組定理是數理統計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量累積分佈函數逐點收斂到正態分佈的積累分佈函數的條件。

在自然界與生產中，一些現象受到許多相互獨立的隨機因素的影響，如果每個因素所產生的影響都很微小時，總的影響可以看作是服從正態分佈的。中心極限定理就是從數學上證明了這一現象 。

3、貝葉斯定理

非常有實用價值的概率分析法！它在大數據時代的機器學習、醫學、金融市場的高勝算交易時機的把握、刑事案件的偵破中均有很高的推理價值。

貝葉斯定理由英國數學家貝葉斯發展而來，用來描述兩個條件概率之間的關係，是概率統計中的應用所觀察到的現象對有關概率分佈的主觀判斷（即先驗概率）進行修正的標準方法。

P(A) 事件A發生的概率，即先驗概率或邊緣概率

P(B) 事件B發生的概率，即先驗概率或邊緣概率

P(B|A) 事件A發生時事件B發生的概率，即後驗概率或條件概率

P(A|B) 事件B發生時事件A發生的概率，即後驗概率或條件概率

按照乘法法則：

P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)

公式變形後，得出：

P(B|A) = P(A|B)*P(B) / P(A)

貝葉斯法則的文字化表達：

後驗概率 = 標準相似度 * 先驗概率

注：P(A|B)/P(A) 又稱標準相似度

如果我們的先驗概率審定爲1或0（即肯定或否定某件事發生）， 那麼無論我們如何增加證據你也依然得到同樣的條件概率（此時 P(A)=0 或 1 ， P(A|B)= 0或1