半角的正弦公式推導過程

現在的新人教A版高中數學教材中，半角的正弦公式是由二倍角的餘弦公式推導而來的。因為cos2α=1-2sin²α，所以sin²α=（1-cos2α）/2，用α/2替換公式中的α，得sin²α/2=（1-cosα）/2，開方得sinα/2=±√（1-cosα）/2，符號由α/2所在象限確定。

正弦函數（sine function）是數學中一種重要的函數，它在很多領域中都有廣泛的應用。在這裏，我們來簡單介紹一下半角正弦函數的推導過程。

首先，我們來回顧一下正弦函數的定義：

在平面直角座標系中，將圓心與點A（x，y）連接，形成角θ，則點A沿圓弧按逆時針方向移動時，y值與θ成正比，並且當θ=0時，y=r（r為圓的半徑），這樣的函數稱為正弦函數。

根據上面的定義，我們可以得出正弦函數的公式：

y=r*sinθ

這個公式告訴我們，對於任意的θ值，正弦函數都可以計算出對應的y值。

接下來，我們來看看如何求出半角正弦函數的公式。首先，我們需要知道什麼是半角。半角是指圓心角的一半，也就是説，半角的大小為θ/2。

因此，半角正弦函數的公式可以表示為：

y=r*sin(θ/2)

這就是半角正弦函數的公式。通過這個公式，我們就可以計算出圓心角為θ/2時的y值了。

首先推導出兩角和公式：sin（x+y）=sinxcosy+cosxsiny

令x=θ/2，y=θ/2

sin（θ/2+θ/2）=sinθ/2cosθ/2+cosθ/2sinθ/2

得到：cosθ/2=sinθ/2sinθ/2

sin（x-y）=sinxcosy-cosxsiny

令x=θ，y=θ/2

sin（θ-θ/2）=sinθcosθ/2-cosθsinθ/2

sinθ/2=sinθ(sinθ/2sinθ/2)-cosθsinθ/2

sin²θ/2=sin²θ/2(1+cosθ)

sin²θ/2=(1-cos²θ)/2(1+cosθ)

sin²θ/2=(1+cosθ)/2

sinθ/2=±√(1+cosθ)/2