一致連續性為什麼要求閉區間

這個定理的實質是對於這個區間我們可以統一地用一個ε來控制每點附近δ範圍內的振幅。定理的證明你可以用有限覆蓋定理來證，比較能反映本質。

一點處的連續性反映的是這點的鄰域的性質，是局部性質，而一致連續性則反映的是定義在整個區間上函數的性質，是整體性質。所以一致連續性與定義域的拓撲性質有直接關係，具體來説就是緊緻性。

我們知道，閉區間是緊緻的，也就是有有限覆蓋性，有限性使得我們能在所有的δ中找到一個最小的，從而由連續性推出了一致連續性。而開區間就不一定了，開區間不具有緊緻性，所以其上面的連續函數不一定具有一致連續性。