韋達定理與三次四次方程的應用

    韋達定理說明了一元二次方程中根和係數之間的關係。

     法國數學家弗朗索瓦·韋達在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程根與係數的關係，提出了這條定理。由於韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，人們把這個關係稱為韋達定理。

下面是韋達定理與三次四次方程的應用

一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一個橫座標平移y=x+s/3，那麼我們就可以把方程的二次項消

去.所以我們只要考慮形如

x3=px+q

的三次方程.

假設方程的解x可以寫成x=a-b的形式，這裡a和b是待定的引數.

代入方程，我們就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q

整理得到

a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q

由二次方程理論可知，一定可以適當選取a和b，使得在x=a-b的同時

3ab+p=0.這樣上式就成為

a3-b3=q

兩邊各乘以27a3，就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6 + p = 27qa3

這是一個關於a3的二次方程，所以可以解得a.進而可解出b和根x.

費拉里發現的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一樣，可以用一個座標平移來消去四次方程

一般形式中的三次項.所以只要考慮下面形式的一元四次方程：

x4=px2+qx+r

關鍵在於要利用引數把等式的兩邊配成完全平方形式.考慮一個引數

a，我們有

(x2+a)2 = (p+2a)x2+qx+r+a2

等式右邊是完全平方式若且唯若它的判別式為0，即

q2 = 4(p+2a)(r+a2)

這是一個關於a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我們可以

解出引數a.這樣原方程兩邊都是完全平方式，開方後就是一個關於x

的一元二次方程，於是就可以解出原方程的根x.

韋達定理(Vieta's Theorem）的內容

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中

設兩個根為X1和X2

則X1+X2= -b/a 韋達定理

X1*X2=c/a

不能用於線段

用韋達定理判斷方程的根

若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數根

若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根

若b^2-4ac