直線y=x+1是曲線的切線

1、因為直線y=x+1是曲線y=x^3+3x^2+4x+a的切線，所以直線y=x+1的斜率k=1是曲線某一點的導數。這裡先求出曲線的一階導數y'=3x^2+6x+4。

2、因為直線y=x+1的斜率k=1是曲線某點的一階導數的值，所以當y'=k時，可以列出方程3x^2+6x+4=1解方程可以得到x=-1。

3、求出x=-1時曲線與直線相切，切點（-1，y）可通過直線y=x+1求出此點y值為0，切點為（-1，0）。

4、將切點（-1，0）代入曲線y=x^3+3x^2+4x+a，可求得a=2。

所以題目的答案是a等於2。

斜率與導數

斜率，數學、幾何學名詞，是表示一條直線（或曲線的切線）關於（橫）座標軸傾斜程度的量。它通常用直線（或曲線的切線）與（橫）座標軸夾角的正切，或兩點的縱座標之差與橫座標之差的比來表示。

一條直線與某平面直角座標系橫座標軸正半軸方向所成的角的正切值即該直線相對於該座標系的斜率。如果直線與x軸互相垂直，直角的正切值為tan90°，故此直線不存在斜率（也可以說直線的斜率為無窮大）。當直線L的斜率存在時，對於一次函式y=kx+b（斜截式），k即該函式影象的斜率。

導數（Derivative），也叫導函數值。又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函式y=f（x）的自變數x在一點x0上產生一個增量Δx時，函式輸出值的增量Δy與自變數增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。

對於可導的函式f(x)，x↦f'(x)也是一個函式，稱作f(x)的導函式（簡稱導數）。尋找已知的函式在某點的導數或其導函式的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源於極限的四則運演算法則。反之，已知導函式也可以反過來求原來的函式，即不定積分。