線性替換的規則

線性代數的重要概念之一.

設σ是數域P上的線性空間V的一個變換.若對於V中的任意向量α，β與P中的任意數k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，則稱σ是V的一個線性代換.設σ是線性空間V的一個變換，若對於V中任意向量α，有σ(α)=α，則σ是V的線性變換，稱為恆等變換，亦稱單位變換，記為I.若V的變換σ對於V中的任意向量α，有σ(α)=0，則σ是V的線性代換，稱為零變換，記為0.

線性變換是歐氏幾何中的變換、解析幾何中的某些座標變換、數學分析中的某些變數代換以及其他數學分支中某些類似的變換的抽象、概括與推廣.

數域上線性空間的線性代換可以推廣為同一個域上的兩個不同線性空間的線性對映.線性代換不僅是線性代數的主要研究物件之一，也是數學中的一個重要的概念.近代數學中的許多分支的研究物件，如泛函分析中的線性運算元.同調代數中的模同態等都與線性代換有密切的聯絡。