立体几何证明方法总结

1、平行、垂直位置关系的论证的策略:

(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。

2、空间角的计算方法与技巧:

主要步骤：一作、二证、三算若用向量，那就是一证、二算。

(1)两条异面直线所成的角①平移法：②补形法：③向量法：

(2)直线和平面所成的角

①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。

②用公式计算.

(3)二面角

①平面角的作法：(i)定义法(ii)三垂线定理及其逆定理法(iii)垂面法。

②平面角的计算法：

(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算(ii)射影面积法(iii)向量夹角公式.

3、空间距离的计算方法与技巧:

(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。

(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。

(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。

4、熟记一些常用的小结论，诸如：正四面体的体积公式是面积射影公式“立平斜关系式”最小角定理。弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。

5、平面图形的翻折、立体图形的展开等一类问题，要注意翻折前、展开前后有关几何元素的“不变性”与“不变量”。

6、与球有关的题型，只能应用“老方法”，求出球的半径即可。

7、立体几何读题：

(1)弄清楚图形是什么几何体，规则的、不规则的、组合体等。

(2)弄清楚几何体结构特征。面面、线面、线线之间有哪些关系(平行、垂直、相等)。

(3)重点留意有哪些面面垂直、线面垂直，线线平行、线面平行等。

一、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。(线面平行的性质定理)

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理)

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理)

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明)

二、线面平行的证明方法：

1、定义法:直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行

那么这条直线和这个平面平行。( 线面平行的判定定理)

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

4、反证法。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法:两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另-一个平面

那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理)

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外-一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个

平面内任意的直线都垂直。

7、在平面内的一-条直线，如果和这个平面--条斜线的射影

垂直，那么它也和这条斜线垂直。(三垂线定理， 需证明)

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一-条斜线垂直，那

么它也和这条斜线的射影垂直。(三垂线逆定理， 需证明)

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直.2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。( 线面垂直的判定定理)

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。( 面面垂直的性质定理)

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另- -条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的-一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法:两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的- -条垂线，那么这两个平面互相垂直。( 面面垂直的判定定理)

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。