一次函数关于y=x对称的解析式原理

一次函数y=kx+b点(p，q)关于x轴对称的点为(p，-q)，因此方程只需将y变号，即为-y=kx+b，也就是y=-kx-b点(p，q)关于y轴对称的点为(-p，q)，因此方程只需将x变号，即为y=-kx+b点(p，q)。

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数（directproportionfunction）。

一次函数及其图象是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。

函数自身的对称性探究

定理1.函数 y = f (x)的图象关于点A (a ，b)对称的充要条件是

f(x) + f (2a-x) = 2b.

证明:(必要性)设点P(x ，y)是y = f (x)图象上任一点，∵点P( x ，y)关于点A (a ，b)的对称点P'(2a-x，2b-y)也在y = f (x)图象上，∴ 2b-y = f (2a-x)，即y + f (2a-x)=2b，故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得证。

(充分性)设点P(x0，y0)是y = f (x)图象上任一点，则y0 = f (x0)。

∵ f (x) + f (2a-x) =2b，∴f (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。

故点P'(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 图象上，而点P与点P'关于点A (a ，b)对称，充分性得证。

推论:函数 y = f (x)的图象关于原点O对称的充要条件是f (x) +

f (-x) = 0。

定理2. 函数 y = f (x)的图象关于直线x = a对称的充要条件是

f(a +x) = f (a-x) ，即f (x) = f (2a-x) (证明过程略)。

推论:函数 y = f (x)的图象关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)。

定理3. ①若函数y = f (x) 图象同时关于点A (a ，c)和点B (b ，c)成中心对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图象同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图象既关于点A (a ，c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a≠b)，则y = f (x)是周期函数，且4| a-b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明:

∵函数y = f (x)图象关于点A (a ，c) 成中心对称

∴f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得:

f(2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c………………(*)

又∵函数y = f (x)图象直线x =b成轴对称

∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得:

f(x) = 2c-f [2(a-b) + x]…………(**)，用2(a-b)-x代x得

f[2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得:

f(x) = f [4(a-b) + x]，故y = f (x)是周期函数，且2| a-b|是其一个周期。