π是无理数的条件和结论

π是无理数的结论

条件：其他证明π是无理数的方法大都是用到微积分和反证法，下面介绍一下由美国数学家伊万·尼文（Ivan M. Niven）在1947年证明π是无理数的方法。

假设π是有理数，那么，它可以由分数表示，令π=a/b，其中a和b均为整数。

定义如下的函数f(x)和F(x)：

f(x)及其任意阶导数f^k(x)都满足f(x)=f(π-x)，并且它们都在x=0和x=π处可积。此外，f^k(0)和f^k(π)都是整数。显然，F(0)和F(π)也都是整数。

当n趋于无穷时，f(x)sinx趋于零，这意味着f(x)sinx在[0， π]上的积分也会趋于零，这与该积分是正整数相矛盾。因此，π≠a/b，这意味着圆周率是一个无理数