怎樣判斷正交矩陣的行列式值是1

設λ是正交矩陣A的特徵值，x是A的屬於特徵值λ的特徵向量

即有 Ax = λx，且 x≠0。

兩邊取轉置，得 x^TA^T = λx^T

所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx

因爲A是正交矩陣，所以 A^TA=E

所以 x^Tx = λ^2x^Tx

由 x≠0 知 x^Tx 是一個非零的數

故 λ^2=1

所以 λ=1或-1

正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，所以對於複數的矩陣這導致了歸一要求。正交矩陣不一定是實矩陣。實正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實數）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復正交矩陣，這種復正交矩陣不是酉矩陣。