马歇尔需求函数的推导

u=u(x1，x2)=(x1)^a(x2)^b

不妨假设：商品x1和x2的价格为p1，p2，收入为y。

需求函数上每一点的组合（xi，pi）都是效用最大化的点的组合。因此，可以写出如下数学规划：

Max：u=(x1)^a(x2)^bs.t.：x1p1+x2p2≤y构造拉格朗日函数，解这个规划F=(x1)^a(x2)^b-t(x1p1+x2p2-y)

t为拉格朗日乘子dF/dx1=0：ax1^(a-1)x2^b-tp1=0(1)

dF/dx2=0：bx1^ax2^(b-1)-tp2=0(2)

dF/dt=0：x1p1+x2p2-y=0.(3)由(1)(2)得到：bx1p1=ax2p2.(4)

对于(4)变形：x2p2=(bx1p1)/a

带入(3)式：x1p1+(bx1p1)/a=y

得到需求函数：x1=ay/p1

同理：x2=by/p2。

对需求函数变形就可以看到参数a，b的含义：(x1p1)/y=a，由于a∈(0，1)，所以参数a，b的含义是对商品x1，x2的支出占总收入的份额。