三次基本不等式的证明

利用分解因式和配方

设a＞0，b＞0，c＞0

因为a^3+b^3+c^3-3abc

=（a^3+a^2b+a^2c）+（b^3+ab^2+b^2c）+（c^3+ac^2+bc^2）-3abc-a^2b-a^2c-ab^2-b^2c-ac^2-bc^2

=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2）-（a^2b+ab^2+abc）-（b^2c+bc^2+abc）-（a^2c+ac^2+abc）

=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2）-ab（a+b+c）-bc（a+b+c）-ca（a+b+c）

=（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）

=1/2（a+b+c）[（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2]≥0

所以a^3+b^3+c^3≥3abc

进而得a+b+c≥3三次根号abc

这就是三次基本不等式。