赫尔德不等式满足的条件

赫尔德不等式有许多证明，主要的想法是杨氏不等式。

如果||f||p= 0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。

如果||f||p= ∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0，∞)内。

如果p= ∞且q= 1，那么几乎处处有|fg| ≤ ||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p，q∈ (1，∞)。

分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的a和b，当且仅当时 等式成立。

因此：

两边积分，得：.

这便证明了赫尔德不等式。

在p∈ (1，∞)和||f||p= ||g||q= 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有 。更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0，∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α，β>0（即α= ||g||q且β= ||f||p），使得： μ-几乎处处(*)

||f||p= 0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。