最小角定理证明过程

斜线和平面所成的角，是平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，它是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。即最小角定理

根据空间角的余弦公式（这个很容易推导）：线面角(与平面所成的那个角)θ，斜线角（线-线角）α，射影交角（正射影与斜射影夹角）β有简单余弦关系

cos(α)=cos(β)cos(θ)，于是cos(α)≤cos(θ)，由单调性可知，θ≤α.因此，θ是最小角

最小角定理也叫三余弦定理。

设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB (∠BAC和∠OAB只能是锐角）

通俗点说就是，平面α的一条斜线l与α所成角为θ1，α内的直线m与l在α上的射影l‘夹角为θ2，l与m所成角为θ，则cosθ=cosθ1*cosθ2.又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．

已知OA是面α的一条斜线，OB⊥α。在α内过B作BC⊥AC，垂足为C，连接OC。OA和α所成角∠OAB=θ1，AC和AB所成角∠BAC=θ2，OA和AC所成角∠OAC=θ。求证cosθ=cosθ1*cosθ2

证明：

∵OB⊥α

∴BC是OC在α上的射影

∵BC⊥AC

∴OC⊥AC（三垂线定理）

由三角函数的定义可知

cosθ1=AB/OA，cosθ2=AC/AB，cosθ=AC/OA

∴cosθ1*cosθ2=AB/OA*AC/AB=AC/OA=cosθ

或利用三面角余弦定理来证明。

在三面角A-OBC中，设二面角O-AB-C为∠AB，易证∠AB=90°

由三面角余弦定理得

cos∠OAC=cos∠OAB*cos∠CAB+sin∠OAB*sin∠CAB*cos∠AB

即cosθ=cosθ1*cosθ2+sinθ1*sinθ2*cos90°=cosθ1*cosθ2