一致收敛一定是连续的吗

不一定。

如果是一列连续函数一致收敛到某个极限函数的时候，那么极限函数一定是连续函数。一个很简单的反例就是，一串本身就是不连续的函数列一致收敛。比如取这串函数列为x<0时，取值为-1+1/n，x≥0时取值为1+1/n，那么当n趋于无穷大的时候，这串函数一致收敛于x<0 时取值-1，x≥0时取值为1的函数。这个极限函数显然有一个不连续点。