转轴转动惯量推导

先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=（1/2）mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。

E=（1/2）mv^2 （v^2为v的2次方）

把v=wr代入上式 （w是角速度，r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r，而再把不同质点积分化得到实际等效的r）

得到E=（1/2）m（wr）^2

由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替，K=mr^2

得到E=（1/2）Kw^2

K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。

这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。

设刚体中第i个质点的质量为△mi，该质点离轴的垂直距离为ri，则转动惯量为： J=∑ri2△mi， 即刚体对转轴的转动惯量等于组成刚体各质点的质量与各自到转轴的距离平方的乘积之和。 刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写为积分形式： J=∫r2dm， 积分式中dm是质元的质量，r是此质元到转轴的距离。

比如圆柱体的转动惯量其实就可以看作是一个圆盘的转动惯量 在距离盘心r处取一宽为dr的圆环，它的质量dm=m/(pi*r^2)* 2pi*rdr 然后代入 J=∫r^2dm 从0到r积分，得到J=1/2mr^2