任何方阵都有特征值吗

当然不是所有方阵都有特征值啦。

我们在线性代数/高等代数中讨论的方阵通常是在一个域K上讨论的（高等代数课程中仅有多项式矩阵是环上的矩阵），也即方阵的元素来自域K。域K上方阵特征值的定义是，若K中元素a和K的n维列向量x使得Ax=ax，则a称为A的特征值。

为了求特征值我们一般会先求出特征多项式，然后对特征多项式求根得到特征值。那么问题就来了，如果特征多项式在域K中没有根，则K上的方阵A就不存在特征值，比如实方阵A=[0，1-1，0]，它的特征多项式是x方+1，在实数域下不可约，从而无特征值。

但是由于利用域K中的不可约多项式f总是可以构造扩域，使得f在扩域上有根，所以我们总能将A看作一个扩域上的方阵从而有特征值。例如上述例子中的A，若视为复数域上的矩阵则有特征值i和-i。特别的，由于复数域上有代数学基本定理，从而复数域下的方阵总有n个特征值。