不动点求数列通项原理详细推导

1、当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

2、典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。

3、我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)令 ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。

4、注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

5、注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2)简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x 然后构造数列

1、不动点法求数列通项原理是不动点是使f(x)=x的x值，设不动点为x0，则f(x0)-x0=0，即x是f(x)-x0=0的根，所以f(x)-x0因式分解时有x-x0这个因子，对数列有a(n+1)=f（an），两边同时减去不动点x0有a(n+1)-x0=f（an）-x0，f（an）-x0只不过是把x换成了an，所以f（an）-x0有an-x0这个因子，所以a(n+1)-x0=（an-x0）*g（an），减去不动点后两边出现了形式相同的项an-x0，g（an）则相当于公比。

2、不动点法(fixedpointmethod)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。