斐波那契數列求和公式

斐波那契數列的求和公式為: Sn=2an+an-1-1

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波那契數列以如下被以遞推的方法定義：F(0)=0，F(1)=1， F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

數列的最後一項的兩倍加上倒數第二項再減去1

an=√5/5[(1+√5)/2]^n-√5/5[(1-√5)/2]^n，設bn=√5/5[(1+√5)/2]^n，cn=√5/5[(1-√5)/2]^n

則an=bn-cn，{bn}是公比為(1+√5)/2的等比數列，{cn}是公比為(1-√5)/2的等比數列

bn的前n項和Bn=√5/5[(1+√5)/2]*(1-[(1+√5)/2]^n)/(1-[(1+√5)/2])

=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10

cn的前n項和Cn=√5/5[(1-√5)/2]*(1-[(1-√5)/2]^n)/(1-[(1-√5)/2])

=(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10

所以an的前n項和An=a1+a2+…+an=b1-c1+b2-c2+…+bn-cn=Bn-Cn

=(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)/10-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)/10

={(3√5+5)([(1+√5)/2]^n-1)-(3√5-5)([(1-√5)/2]^n-1)}/10