一元四次方程求根公式推導完整

               x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，四次方程求根公式是數學代數學基本公式，由義大利數學家費拉里首次提出證明。一元四次方程是未知數最高次數不超過四次的多項式方程，應用化四次為二次的方法，結合盛金公式求解。

適用未知數最高次項的次數不大於四的多項式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的啟發而得到的。

二次方程ax²+bx+c=0，根據代數基本定理，可以設兩個解x1和x2，那就可以將之寫成(x-x1)(x-x2)=0，然後把它展開並對照係數便得到韋達定理

x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，然後利用這兩個式子以及二項展開式(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2，這樣就能得到

x1-x2=±√(b²-4ac)/a，再聯立x1+x2，就能得到二次方程求根公式

x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。

三次方程ax³+bx²+cx+d=0，因為a肯定不為零，所以乾脆就可以把方程寫成

y³+ay²+by+c=0

令y=x-a/3，帶入到方程式中就能消去二次項，這樣就能得到方程x³+py=q，如果把p和q放入到複平面，其實這個就是一般方程。

又知道和立方公式(m+n)³=m³+n³+3mn(m+n)，那麼令m+n=x，m³+n³=q，3mn=-p，這樣就能得到x³=q-px，然後設任意兩個數a，b使得x=a+b，這樣上式就變成a³+b³+3ab(a+b)+p(a+b)=q，即(p+3ab)(a+b)=q-(a³+b³)，令兩邊都為零，這樣

ab=-p/3，a³+b³=q，這樣再利用一次二項展開便能得到

a³-b³=±√(q²+4p³/27)，再聯立a³+b³就能得到

這裡根號裡面部分就是判別式Δ，這樣對a和b開三次根號並相加就能得到解。

笛卡爾法：一般的四次方程還可以待定係數法解，這種方法稱為笛卡爾法，由笛卡爾於1637年提出。

     先將四次方程化為x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的形式。

令x=y-a/4，整理後得到y^4+py^2+qy+r=0 （1）

設y^4+py^2+qy+r=(y^2+ky+t)(y^2-ky+m)=y^4+(t+m-k^2)y^2+k(m-t)y+tm

比較dy對應項係數，得t+m-k^2=p，k(m-t)=q，tm=r

設k≠0，把t和m當作未知數，解前兩個方程，得t=(k^3+pk-q)/(2k)，m=(k^3+pk+q)/(2k)

再代入第三個方程，得((k^3+pk)^2-q^2)/(4k^2)=r 。

即k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2=0

解這個方程，設kο是它的任意一根，tο和mο是k=ko時t和m的值那麼方程（1）就成為 （y^2+koy+to)(y^2-koy+mo)=0

解方程y^2+koy+to=0和y^2-koy+mo=0就可以得出方程（1）的四個根，各根加上-4/a就可以得出原方程的四個根。