二重特徵值與秩的關係

如果矩陣可以對角化，那麼非0特徵值的個數就等於矩陣的秩如果矩陣不可以對角化，這個結論就不一定成立了。

為討論方便，設A為m階方陣。

證明：設方陣A的秩為n。

因為任何矩陣都可以通過一系列初等變換，變成形如：

1 0 … 0 … 0

0 1 … 0 … 0

…………………

0 0 … 1 … 0

0 0 … 0 … 0

…………………

0 0 … 0 … 0

擴充套件資料

若a是矩陣A的特徵值，則其（代數）重數等於n-r((aE-A)^n)，幾何重數（即特徵子空間維數）等於n-r(aE-A)。

注1：r((aE-A)^n)表示aE-A的n次冪的秩

注2：該結論可利用A的Jordan標準型得到。

矩陣A的相似對角矩陣的主對角元都是矩陣A的特徵值，又因為矩陣A的秩與它的相似對角陣的秩相等，因此，如果矩陣A的秩為n，那麼它就有n個非零特徵值。