齐次线性微分方程的通解

解：∵齐次方程y"-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0，则r=3（二重实根）

∴此齐次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)

(c1，c2是常数)

∵设原方程的解为y=(ax^3+bx^2)e^(3x)

代入原方程，得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x)

==>6a=1，2b=1

==>a=1/6，b=1/2

∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解

故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x)，即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x)。

解：∵齐次方程y"-6y'+9y=0的特征方程是r^2-6r+9=0，则r=3（二重实根） ∴此齐次方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x) (c1，c2是常数) ∵设原方程的解为y=(ax^3+bx^2)e^(3x) 代入原方程，得(6ax+2b)e^(3x)=(x+1)e^(3x) ==>6a=1，2b=1 ==>a=1/6，b=1/2 ∴y=(x^3/6+x^2/2)e^(3x)是原方程的一个解 故原方程的通解是y=(c1x+c2)e^(3x)+(x^3/6+x^2/2)e^(3x)，即y=(x^3/6+x^2/2+c1x+c2)e^(3x)。

二阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构，你应该知道吧一阶齐次、非齐次线性微分方程的解的特点与解的结构也是类似的.

解的特点：

一阶齐次：两个解的和还是解，一个解乘以一个常数还是解

一阶非齐次：两个解的差是齐次方程的解，非齐次方程的一个解加上齐次方程的一个解还是非齐次方程的解

通解的结构：

一阶齐次：y＝Cy1，y1是齐次方程的一个非零解

一阶非齐次：y＝y*＋Cy1，其中y*是非齐次方程的一个特解，y1是相应的齐次方程的一个非零特解

齐次线性微分方程的通解

齐次微分方程的通解公式是：y'=f（y/x），其中 f 是已知的连续方程。求解齐次微分方程的关键是作变换u=y/x，即y=ux ，它可以把方程转换为关于u与x的可分离变量的方程，此时有y'=u+xu'，代入原方程即可得可分离变量的方程u+xu'=f（u） ，分离变量并积分即可得到结果，需要注意的是，最后应把 u=y/x代入，并作必要的变形。