正方形内等边三角形定理

定理:等边三角形三条边相等，三个角相等，外角为30度，且其对应边等于等边三角形边长的一半。所分的三个直角三角形全等。

∵矩形ABCD

∴∠A＝∠BCD＝∠ADC＝∠B＝90

∵∠FCD＝75

∴∠BCF＝90-∠FCD＝15

∵等边△EFC

∴CE＝CF＝EF，∠ECF＝60

∴∠DCE＝∠BCD-∠BCF-∠ECF＝15

∴∠DCE＝∠BCF

∴△DCE≌△BCF （AAS）

∴BC＝CD

∴正方形ABCD

2、证明：

∵△DCE≌△BCF

∴DE＝BF

∴AE＝AF＝AB-FB＝BC-FB

∵∠A＝90

∴EF＝√2AE

∴CE＝√2AE＝√2（BC-FB）

∴CE²＝2（BC²+FB²-2BC×FB）＝2（BC²+FB²）-4BC×FB＝2CF²-4BC×FB＝2CE²-4BC×FB

∴CE²＝4BC×FB

3、解：过点K作KH⊥BC，作∠BCG＝60，CG交KH延长线于点G

∵KH⊥BC

∴∠GKC＝90-∠BCF＝75

∵K是CF的中点，KH⊥BC，∠B＝90

∴KH是△BCF的中位线

∴CH＝BC/2＝CD/2

∵∠BCG＝60

∴CH＝CG/2

∴CG＝CD

∵∠FCG＝∠BCF+∠BCG＝15+60＝75

∴∠FCG＝∠FCD

∴CK＝CK

∴△DCK≌△GCK （SAS）

∴∠DKC＝∠GKC＝75

∴∠KDC＝180-∠FCD-∠DKC＝30

①、正方形定理

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

②、中心对称定理

定理1：关于中心对称的两个图形是全等的

定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

③、等腰梯形性质定理

等腰梯形性质定理：

1、等腰梯形在同一底上的两个角相等

2、等腰梯形的两条对角线相等

等腰梯形判定定理：

1、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

2、对角线相等的梯形是等腰梯形

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

④、中位线定理

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h

⑤、相似三角形定理

相似三角形定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似

相似三角形判定定理：

1、两角对应相等，两三角形相似(ASA)

2、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

判定定理3：

三边对应成比例，两三角形相似(SSS)

相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

性质定理：

1、相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

2、相似三角形周长的比等于相似比

3、相似三角形面积的比等于相似比的平方

⑥、三角函数定理

任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

⑦、圆的定理

定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆

定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧

推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧

定理：

1、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

2、经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线

3、圆的切线垂直经过切点的半径

4、三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心

5、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

6、圆的外切四边形的两组对边的和相等

7、如果四边形两组对边的和相等，那么它必有内切圆

8、两圆的两条外公切线的长相等两圆的两条内公切线的长也相等

20、比例性质定理

比例的基本性质

如果a：b=c：d，那么ad=bc如果ad=bc，那么a：b=c：d

合比性质

如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d

等比性质

如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)

那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b