函数中心对称的知识点

如果一个函数图像绕着某点p旋转180度后与原图像重合，就说这个函数中心对称。最常见的是关于原点中心对称。若f(-x)=-f(X)，就称函数f(X)关于原点中心对称，如y=ⅹ，y=1/x都是关于原点中心对称的。

1、对称性的概念

函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）

常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。

反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。

指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴而其他的幂函数不具备对称性。

正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心

x=kπ+π/2是它的对称轴。

正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。

正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ，0）。

对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴，例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看见过老师将“√”两边画得一样齐学生们立刻明白并记忆深刻。

三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。