微分方程万能公式

一阶微分方程

如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解

若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解

若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解

二阶微分方程

y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。

1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).

2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)

3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]

前几天刚考完试，根据常出的题型自己做的总结，希望有用处O(∩_∩)O~

解微分方程，为了得到通解，确实需要技巧的，每种类型的方程都有自己特定的解法。

function dx=tf(t，x) %保存默认的格式 tf.m

dx=zeros(2，1)

dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2)

dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2)

%%%%%主程序调用

[t，x]=ode45('tf'，[0 10]，[50000 200]) %[0 10] %时间起始点 ，[50000 200]) 初值设置 没有.但有通用的解法，那就数值解法.数值解法是最常用的.也是最能够体现数学之有用之处的.

万用公式肯定没有，如果是求数值解或者级数解的话有很多类型的方程解法是一样的。

不过假如仅仅指高数里面的微分方程那非常容易。

高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的关键是辨识要求解的方程是什么类型。

可分离变量型，往往是y'=f(x)/g(y)或者y'=f(x)g(y)这种，直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。

求根公式型（包括常数变易法公式），往往是y'=p(x)y+q(x)的形式或者经非常简短的变形就可以化为这种形式，直接套用求根公式求解。

伯努利（Bernoulli）方程，y'=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中含有y的2次方以上绝大多数都是这种方程。

全微分方程，M(x，y)dx+N(x，y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的题目，所以涉及的全微分方程都是直接就是这种形式。用凑微分法或者直接积分公式都能解。

高阶常系数微分方程只需记住齐次通解公式和两个特解形式就可以做任何题。

欧拉方程记下来它的算子法或者是变量代换法也足矣了。