向量ab垂直的坐标运算公式

若向量a(x1，y1)与向量(x2，y2)垂直，则向量a乘以向量b等于0。实际上向量a=(x1i十y1j)，向量b=(x2i+y2j)(其中i，j是平面直角坐标系中x轴和y轴上的单位向量，i^2=j^2=1，ij=0)。根据两向量坐标形式的乘法就有向量α乘以向量b等于x1ⅹ2+y1y2=O，这就两个向量互相垂直的条件。

)

a、b是两个向量，a=（a1，a2） b=（b1，b2）

a垂直b：a1b1+a2b2=0

证明：

①几何角度：

向量A (x1，y1)，长度 L1 =√(x1²+y1²)

向量B (x2，y2)，长度 L2 =√(x2²+y2²)

（x1，y1）到(x2，y2)的距离：D=√[(x1 - x2)² + (y1 - y2)²]

两个向量垂直，根据勾股定理：L1² + L2² = D²

∴ (x1²+y1²) + (x2²+y2²) = (x1 - x2)² + (y1 - y2)²

∴ x1² + y1² + x2² + y2² = x1² -2x1x2 + x2² + y1² - 2y1y2 + y2²

∴ 0 = -2x1x2 - 2y1y2

∴ x1x2 + y1y2 = 0

②扩展到三维角度：

x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0

那么向量(x1，y1，z1)和（x2，y2，z2）垂直

综述，对任意维度的两个向量L1，L2垂直的充分必要条件是：L1×L2=0 成立。

扩展资料

1、平面向量数乘公式

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。

当λ>0时，λa的方向和a的方向相同

当λ<0时，λa的方向和a的方向相反

当λ = 0时，λa=0。

用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1，y2-y1)=(λx2-λx1，λy2-λy1)

设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：

(λμ)a= λ(μa)

(λ + μ)a= λa+ μa

λ(a±b) = λa± λb

(－λ)a=－(λa) = λ(－a)

|λa|=|λ||a|

2、平面向量数量积公式

已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b。

零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2