一阶微分方程特征方程公式

一、 一阶微分方程

dy判断特征: ，fxy(，)dx

dy类型一:(可分离变量的方程) ，gxhy()()dx

dy解法(分离变量法):，然后两边同时积分。，gxdx()hy()

dy类型二:，，PxyQx()()(一阶线性方程) dx

PxdxPxdx()()，，解法(常数变易法): yeCQxedx(())，，

dy，，fxyftxty(，)(，)类型三:(一阶齐次性方程) dx

y解法(换元法): 令类型一u，，x

dynP()y=Q(x)y类型四:(伯努利方程) ，xdx

dy，，nn1，，，()()类型二解法(同除法): yPxyQxdx

二、 可降阶的高阶微分方程

()n类型一: yfx，()

du(1)n，令多次积分求，，，，()()uyfxfx解法(多次积分法):dx

类型二: yfxy''(，')

dp令一阶微分方程pyfxp，，，，'(，)解法: dx

类型三: yfyy''(，')

dpdpdydp令类型二pypfyp，，，，，，'(，)解法: dxdydxdy

三、线性微分方程

yPxyQxy''()'()0，，，类型一:(二阶线性齐次微分方程)

解法:找出方程的两个任意线性不相关特解:yxyx()，()12

则: yxcyxcyx()()()，，1122

类型二:(二阶线性非齐次微分方程)yPxyQxyfx''()'()()，，

解法:先找出对应的齐次微分方程的通解:yxcyxcyx()()()，，31122

再找出非齐次方程的任意特解，则:yx()yxyxcyxcyx()()()()，，，pp1122

类型三:(二阶线性常系数齐次微分方程)ypyq''Ɔ，，

2，，，ppq42解法(特征方程法):，，，，，，，，pq01，22

，xx212(一) ，，，，，，，，，pqycece40，，1212

x(二) ，，，，，，，，0()，，，yccxe1212

x(三)，，，，，，，，，，0，(cossin)，，，，，，，，iiyecxcx1212

类型四:(二阶线性常系数非齐次微分方程) ypyqfx'''()，，

解法(待定系数法):

xyx()(1)型:先找出对应齐次微分方程的通解fxPxe()()， 3m

不是特征方程的根，k，0

kx，